Analisi FEM non lineari di una volta a crociera

Introduzione

Nell'ambito del consolidamento di un edificio storico, ci siamo occupati delle verifiche strutturali di una volta a crociera in mattoni pieni: un intervento che ha rappresentato per noi una vera sfida ingegneristica.

L'analisi strutturale si è resa necessaria a causa dell'incremento dei carichi variabili previsto dal cambio di destinazione d'uso. L'obiettivo era stabilire se la volta fosse in grado di assorbire i nuovi carichi o se, al contrario, occorresse intervenire con specifici rinforzi strutturali.

Per il progettista, la muratura è spesso un materiale complesso da modellare a causa del suo comportamento fortemente non lineare, caratterizzato in primo luogo dalla quasi totale assenza di resistenza a trazione.

Per tale ragione, la capacità portante delle strutture voltate è affidata esclusivamente alla loro forma geometrica e alla capacità di trasmettere i carichi per sola compressione, sfruttando il cosiddetto "effetto arco" [1].

La soluzione al problema statico dell'arco è stata ampiamente indagata dalla letteratura scientifica; basti citare, ad esempio, il metodo di Méry, sviluppato già nel corso dell'Ottocento [2].

Tuttavia, la volta a crociera è caratterizzata da una geometria complessa che difficilmente può essere schematizzata con un modello semplificato ad arco bidimensionale. Per questo tipo di strutture è fondamentale ricorrere a modelli tridimensionali, estendendo il concetto di "linea delle pressioni" a quello di "superficie delle pressioni".

A tal fine, risulta indispensabile realizzare un modello 3D della volta e adottare un legame costitutivo idoneo a rappresentare fedelmente il reale comportamento meccanico della muratura.

Modello FEM di una volta a crociera — Modello tridimensionale agli elementi finiti della volta a crociera utilizzato per l'analisi non lineare.

Descrizione del modello di calcolo

Per l'esecuzione delle valutazioni di sicurezza, è stato sviluppato un modello computazionale tridimensionale discretizzando la volta a crociera mediante l'uso di elementi finiti solidi.

La mesh è composta da 7800 nodi e 5000 elementi di tipo "brick" a 8 nodi con funzioni di forma lineari. Tale scelta garantisce un equilibrio ottimale tra accuratezza nella rappresentazione della geometria complessa e onere computazionale per l'analisi non lineare.

Il comportamento meccanico della muratura è simulato adottando un legame costitutivo non lineare di tipo elastic-no tension. In questo modello, si stabilisce una relazione di tipo elastico unidimensionale tra le deformazioni principali e gli sforzi principali, con l'obiettivo di annullare la risposta del materiale in presenza di regimi di trazione [3-4].

Dal punto di vista analitico, il tensore di Cauchy-Green $C$ viene espresso in funzione dei suoi autovalori e autovettori tramite la decomposizione spettrale:

C=\sum_{i=1}^3\lambda_i \, n_i\otimes n_i

Dove $\lambda_i$ sono gli autovalori e $n_i$ sono le direzioni principali. A partire da questa decomposizione, il tensore degli sforzi di Piola-Kirchhoff $S$ è definito come:

S=\sum_{i=1}^3 f\left(\lambda_i\right) \, n_i\otimes n_i

Per un materiale capace di resistere solo a compressione, la funzione scalare $f\left(\lambda_i\right)$ agisce come filtro per sopprimere le component tensionali. Per garantire la convergenza numerica, tale transizione viene regolarizzata tramite una funzione di tipo arcotangente:

f\left(\lambda_i\right)=\frac{1}{2} E \left(\lambda_i-1\right) \left[\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi} \arctan \left(\frac{\lambda_i-1}{2\varepsilon}\right) \right]

In questa formulazione, $E$ rappresenta il modulo elastico del materiale, il termine in parentesi tonda esprime la deformazione principale di Lagrange, mentre il termine in parentesi quadra funge da correttore numerico per annullare gli sforzi positivi (trazione), dove $\varepsilon$ è un parametro di regolarizzazione per la transizione fluida tra lo stato reagente e quello nullo.

Il modello così descritto è in grado di simulare fedelmente il comportamento meccanico delle strutture murarie voltate, dove la limitata (o nulla) resistenza a trazione del materiale impone che la stabilità sia affidata esclusivamente alla capacità della forma di trasmettere i carichi per compressione.

In un arco bidimensionale, tale stabilità è garantita dal contenimento della curva delle pressioni all'interno dello spessore della sezione. Il modello tridimensionale qui implementato rappresenta la naturale estensione di questo principio: nel caso di una volta, il concetto di curva evolve in quello di superficie delle pressioni.

Tensioni di compressione di una volta a crociera — Distribuzione delle tensioni principali di compressione nella volta ottenuta dal modello FEM.

Risultati e verifiche

I carichi considerati nell'analisi sono i seguenti:

Peso proprio della volta: 18 kN/m³;
Peso proprio del riempimento: 18 kN/m³;
Peso del pavimento: 0.4 kN/m²;
Sovraccarico d'uso: 3.0 kN/m².

Il modello considera la distribuzione non uniforme del riempimento, applicando un carico variabile su ogni nodo della superficie superiore della volta, il cui valore è proporzionale alla differenza di quota del punto rispetto alla chiave della volta.

La verifica nei confronti delle tensioni di trazione è automaticamente soddisfatta grazie alle ipotesi adottate per il legame costitutivo.

In termini delle verifiche a compressione, occorre controllare che le tensioni massime di compressione non superino il valore della resistenza a compressione di progetto per tutta la traccia del tensore degli sforzi [5].

Il valore della resistenza a compressione di progetto è determinata da:

f_{d}=\frac{f_{m}}{\gamma_M \cdot FC}

Dove $f_{m}$ è la resistenza a compressione media della muratura esistente, $\gamma_M$ è il coefficiente di sicurezza parziale per il materiale e $FC$ è il fattore di confidenza, funzione del livello di conoscenza della struttura esistente.

I risultati dell'analisi indicano che le verifiche a compressione non sono soddisfatte. In particolare non risultano verificati gli archi diagonali ed ampie porzioni di intradosso delle unghie. Risulta dunque necessario procedere ad un intervento di consolidamento.

Verifiche strutturali di una volta a crociera — Esito delle verifiche strutturali a compressione con individuazione delle porzioni della volta non soddisfatte.

Bibliografia

[1] Heyman J. (1966). The stone skeleton, International Journal of Solids and Structures.

[2] Méry, E. (1840). Équilibre des voûtes en berceau, Annales des Ponts et Chaussées, 1, 50-70.

[3] Dhondt, G. (2004). The Finite Element Method for Three-Dimensional Thermomechanical Applications, Wiley.

[4] "CalculiX: A Three-Dimensional Structural Finite Element Program", http://www.calculix.de

[5] Analisi e verifica di archi e volte in NextFEM Designer, https://www.nextfem.it/it/archi-e-volte/