Determinazione del diametro di un rotolo dalla sua lunghezza

Vorresti calcolare il diametro complessivo di un rotolo conoscendo l'estensione lineare e lo spessore del nastro? Ecco come fare.

Definiamo innanzitutto le grandezze in gioco:

$L$ : l'estensione lineare del rotolo, che di seguito verrà definita più semplicemente come "lunghezza".
$d$ : il diametro dell'anima attorno a cui viene avvolto il nastro per formare il rotolo.
$s$ : lo spessore del nastro.
$n$ : il numero di avvolgimenti del nastro attorno all'anima.
$D$ : il diametro complessivo del rotolo, considerando sia il diametro dell'anima sia lo spessore dato dall'avvolgimento del nastro.

Occorre fare una precisazione sullo spessore nel nastro. Per una valutazione più accurata bisognerebbe considerare, oltre allo spessore del foglio stesso, anche i vuoti che inevitabilmente si creano nell'esecuzione delle successive sovrapposizioni. In altre parole, è inevitabile che si creino dei vuoti tra strati di fogli consecutivi che fanno incrementare il suo spessore reale. Nel caso in cui non si possa stimare (o non sia possibile tenere considerazione) queste inefficienze, dal calcolo si otterrà il diametro minimo teorico del rotolo.

Adesso ritorniamo ai nostri calcoli. Per prima cosa, consideriamo per semplicità il caso in cui il nastro abbia una lunghezza esattamente uguale alla circonferenza del tubo d'anima, ovvero il caso in cui si ha $L=\pi d$ . In tal caso, il diametro attorno a cui si avvolge il nastro è semplicemente pari al diametro $d$ del tubo d'anima ed il numero di avvolgimenti $n$ è uguale ad 1.

Al secondo giro ( $n=2$ ), il diametro attorno al quale avvolgere il nastro è cresciuto, ed in particolare è cresciuto di una quantità pari al doppio dello spessore $s$ del foglio. Di conseguenza, il diametro attorno al quale avvolgere il nastro è pari a $d+2s$ e la lunghezza del nastro necessario per completare il secondo giro (senza considerare il primo) è pari a $\pi (d+2s)$ .

Al terzo giro ( $n=3$ ), il diametro è cresciuto ancora fino a raggiungere $d+4s$ e la lunghezza del giro è pari a $\pi (d+4s)$ .

Possiamo dunque estendere per analogia questo ragionamento a tutti gli avvolgimenti successivi e così possiamo determinare il diametro del rotolo all'i-esimo giro ( $d+2(i-1)s$ ) e la lunghezza della circonferenza i-esima ( $\pi \left[d+2(i-1)s\right]$ ).

Detto questo, la lunghezza $L$ . di un rotolo che ha completato $n$ giri attorno ad un tubo d'anima di diametro $d$ è data dalla somma delle lunghezze delle circonferenze di tutti i giri dal primo giro ( $i=1$ ) al giro n-esimo ( $i=n$ ) . In termini matematici:

L=\sum_{i=1}^n\pi \left[d+2(i-1)s\right]

Sviluppando il calcolo sfruttando le proprietà delle sommatorie, si ottiene

L=\pi \left[d n + sn(n-1)\right]

che risulta essere un'equazione di secondo grado nell'unica incognita $n$ , la cui unica soluzione (escludendo quella negativa) è

n=\frac{1}{2}\left[1-\frac{d}{s}+\sqrt{\left(1-\frac{d}{s}\right)^2+\frac{4L}{\pi s}}\right]

Una volta determinato il numero di avvolgimento del nastro, è possibile infine determinare il diametro complessivo $D$ del rotolo come

D=d+2\left[n\right]s

dove l'operatore $\left[ \cdot \right]$ rappresenta la parte intera della soluzione dell'equazione precedente, in quanto $n$ è un numero intero.

Di seguito un semplice calcolatore del diametro complessivo del rotolo che implementa i calcoli sviluppati sopra.